MATHÉMATIQUES
Les multizêtas sortent de l'ombre

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°464 daté mai 2012 à la page 18 (660 mots) | Gratuit
Introduits par Euler au XVIIIe siècle, les nombres multizêtas ont ressurgi récemment dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. Francis Brown vient de montrer qu'ils s'écrivaient comme combinaison linéaires les uns des autres.

Qu'avez-vous montré sur les nombres multizêtas ?

F.B. Commençons par définir leur version plus simple, les nombres zêtas : ce sont les sommes infinies des inverses des puissances entières. Par exemple z(2) est la somme des inverses des carrés des entiers ; z (3) est la somme des inverses des cubes. Les nombres multizêtas sont calculés de la même manière, excepté que la somme n'est pas une somme simple, mais une somme multiple : on fait la somme sur 2, 3, 4... autant de valeurs que l'on veut. Par exemple, si l'on fait la somme sur les valeurs 2 et 3, z(2,3) est la somme des produits des inverses des carrés et des cubes (). Du coup, ils sont plus nombreux que les nombres zêtas. Il s'agit d'une énorme classe de nombres réels sur lesquels j'ai démontré que tout nombre multizêta est une combinaison linéaire d'une sous-famille particulière de multizêtas [1]. En termes mathématiques, on dit que l'on possède un système générateur explicite de tous ces nombres, une sorte de base.

Pourquoi ces nombres multizêtas sont-ils importants ?

F.B. Les nombres multizêtas ont été introduits par Euler en 1734 pour expliquer les nombres zêtas, avant de tomber dans l'oubli. Redécouverts dans les années 1990 par Don Zagier, ils sont apparus dans divers domaines des mathématiques et de la physique. En particulier, ces nombres expriment des valeurs d'intégrales utilisées pour faire des calculs en théorie quantique des champs, nommées intégrales de Feynman (lire « Des multizêtas partout en physique ? », ci-contre). La nature connaît ces nombres, et, si on ne les avait pas trouvés en mathématiques, on aurait dû les découvrir en physique.

Quels sont les liens entre nombres zêtas et multizêtas?

F.B. Euler a calculé que z(2) vaut 2/6. De la même façon, il a montré que tous les zêtas pairs (de 2, 4, 6...) étaient des puissances de . Pour les zêtas impairs, il n'existe rien de tel. Euler avait introduit les multizêtas comme objets pour comprendre les relations entre zêtas, et il en existe de nombreuses. Par exemple, on peut écrire z(1,3)= z(2)2/10. Et même si Euler n'a pas réussi à trouver de relations entre zêtas impairs, considérer les nombres zêtas comme un cas particulier des multizêtas a permis d'écrire de nombreuses conjectures. Depuis, il a été prouvé que z(3) est un nombre irrationnel (ce n'est pas une fraction). Si la démonstration est astucieuse, on ne peut la généraliser. On sait qu'il y a une infinité de zêtas impairs irrationnels, mais on ne sait pas dire si z(5) l'est, par exemple. De même, la question de savoir si les nombres multizêtas ne sont pas solution d'une équation algébrique (autrement dit, s'ils sont transcendants) reste posée.

Quels étaient vos outils pour trouver les relations entre les nombres multizêtas ?

F.B. L'histoire remonte à l'« esquisse d'un programme », oeuvre majeure d'Alexander Grothendieck proposée en 1984, dont l'un des objectifs était de comprendre de manière générale l'action d'un groupe (le groupe de Galois absolu) sur les nombres algébriques et de relier cela à la géométrie. Pierre Deligne a repris ce programme, qui n'a pas abouti du point de vue du problème initial, mais qui a permis de développer un arsenal de techniques à travers la « théorie des motifs ». C'est cet arsenal que j'ai utilisé pour trouver une classe de nombres conjecturés par Pierre Deligne et Yasutaka Ihara et qui sont précisément les multizêtas. L'existence d'une base explicite pour les multizêtas en est un corollaire. On peut aussi voir tous ces résultats issus de la théorie des motifs comme une ébauche d'une théorie de Galois pour les nombres transcendants, qui serait le pendant de la théorie algébrique des nombres qui, elle, est bien comprise.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

DOCUMENT      larecherche.fr     LIEN

MATHÉMATIQUES

Les lois de puissance expliquées

mathématiques - par Benoît Rittaud dans mensuel n°409 daté juin 2007 à la page 28 (453 mots) | Gratuit
Pourquoi de nombreuses répartitions statistiques suivent-elles le même type de loi ?

Quel est le point commun entre le nombre d'apparitions des mots dans un livre et la taille des villes dans un pays ? Leur répartition statistique, ou plutôt la décroissance dans leur classement, suit une même loi : la « loi de puissance ».

Selon celle-ci, le nombre de fois qu'apparaît le n- ième mot de la liste est proportionnel à n- a , où a est un nombre positif fixé. Pourquoi cette répartition-là et pas une autre ? Il existait deux visions opposées pour l'expliquer ; une équipe américaine vient de proposer une piste pour les réconcilier [1] .

La première explication porte le nom d'« attachement préférentiel » ; elle traduit l'idée selon laquelle on ne prête qu'aux riches. La probabilité qu'un nouveau venu dans un réseau social crée des liens avec un membre donné de ce réseau est ainsi proportionnelle au nombre de liens déjà créés par ce membre. Séduisante et efficace pour expliquer la loi de puissance, cette représentation a toutefois révélé ses limites lors de diverses observations empiriques. Ainsi, si l'on étudie la taille des villes d'un pays, celles qui ont déjà une certaine taille peuvent « s'engorger » et ne pas atteindre la taille prédite par la théorie ou, à l'inverse, attirer à l'excès la population du pays.

Une autre idée a alors germé, l'« optimisation » : on considère que le réseau tend à devenir le plus « efficace » possible. Par exemple, on cherche le meilleur compromis pour minimiser les « degrés de séparation » entre membres du réseau le nombre d'intermédiaires nécessaires pour joindre deux membres tout en évitant de saturer le réseau par de trop nombreuses connexions. On constate que, ainsi optimisé, le réseau obéit à une loi de puissance.

Dans leur article, les mathématiciens montrent comment l'attachement préférentiel peut être vu comme une conséquence d'un processus d'optimisation. Ils s'appuient sur l'exemple d'une suite de points plus ou moins éloignés les uns des autres, apparaissant de gauche à droite le long d'une ligne.

Chaque nouveau point s'« attache » à un autre de sorte à minimiser la longueur du lien dans un sens un peu plus complexe que la simple longueur géométrique. De cette optimisation émerge un phénomène d'attachement préférentiel : plus un point capte de liens avec les points qui viennent après lui, plus il a de chances d'en capter d'autres. Mieux : le modèle met en relief un phénomène dit de « saturation », qui fait qu'un point trop riche en liens finit par ne plus pouvoir en capter de nouveaux. Un phénomène qui correspond à ce qui se produit dans les réseaux où la quantité de liens que peut tisser un membre est limitée a priori.

Par Benoît Rittaud

MATHÉMATIQUES
Comment vibrent les espaces abstraits issus de l'arithmétique ?

mathématiques - par Philippe Pajot dans mensuel n°472 daté février 2013 à la page 18 (545 mots) | Gratuit
Vous venez de démontrer une conjecture de 1992. Que proposait-elle ?

N.B. Avec Laurent Clozel, de l'université d'Orsay, nous nous intéressons à des espaces qui ont pour origine la théorie des nombres ; ces espaces ont ainsi des propriétés de symétrie particulières. La conjecture qui nous a préoccupés stipule que ces espaces vibrent de manière spécifique : les basses fréquences sont « quantifiées » indépendamment de l'espace considéré. C'est cette conjecture que nous avons démontrée [1].

Comment définir ces espaces ?

N.B. Il s'agit d'espaces à courbure négative, comme le plan hyperbolique imaginé par Lobatschevski et Bolyai au XIXe siècle. Ceux que nous avons étudiés sont compacts : ils se referment sur eux-mêmes. La physique est la source d'un certain nombre d'espaces, en général leur nombre de dimension est petit, 3 le plus souvent, 4 pour l'espace-temps ou un peu plus pour les théories plus élaborées, telle la théorie des cordes.Ici nous avons considéré des espaces à courbure négative, compacts, en dimension arbitraire et dont la source est l'arithmétique. Ces espaces possèdent un « groupe » de symétries constitué de transformations arithmétiques - décrites par des tableaux de nombres entiers (des matrices). Comme la considération de relations de congruence entre ces entiers permet de varier les espaces obtenus, on les appelle « espaces hyperboliques de congruence ».

Comment ont-ils été introduits ?

N.B. En dimension 2, c'est Poincaré, en 1881, qui, le premier, considère des espaces hyperboliques de congruence. Ce sont les premiers exemples des « groupes fuchsiens » qui l'ont rendu célèbre et vers lesquels il a été conduit par l'étude de certaines équations différentielles. Les travaux de Poincaré ont ensuite été étendus aux espaces de dimension arbitraire. Depuis la fin des années 1960, des généralisations de ces espaces sont au coeur du vaste programme de Langlands, qui vise à relier la théorie des nombres aux représentations de certains groupes.

Quelles questions vous êtes vous posées sur ces espaces ?

N.B. Dans le programme de Langlands, il existe un pan « spectral » consistant à savoir comment vibrent les espaces. En termes plus mathématiques, on cherche à obtenir la décomposition spectrale du laplacien sur ces espaces. En dimension 2, existe une conjecture de 1954 due à Atle Selberg supposant que les notes obtenues en frappant l'espace (les valeurs propres du laplacien) sont plus grandes que un quart Cette conjecture est toujours ouverte, mais elle a conduit à s'interroger sur ce qui se passe quand le nombre de dimension est supérieur à 2. La première surprise des mathématiciens fut que, dans ces espaces, il peut exister des fréquences exceptionnellement basses. La seconde surprise est que ces basses fréquences sont quantifiées

Comment avez-vous abouti ?

N.B. D'abord, il y a les travaux de James Arthur, de l'université de Toronto. Ce spécialiste des formes automorphes, sorte de fonctions qui sont invariantes par les symétries de ces espaces, avait proposé de nombreuses conjectures. Ensuite, nous avons montré que, si l'une des conjectures d'Arthur était vraie, alors la conjecture que nous voulions montrer était aussi vraie. Mais il a fallu attendre que Ngo Bao Chau, de l'université de Chicago, démontre le lemme fondamental (ce qui lui a valu la médaille Fields en 2010), pour que James Arthur démontre une version de sa conjecture. Nous nous sommes appuyés dessus pour notre preuve.

Par Philippe Pajot

 DOCUMENT      larecherche.fr     LIEN

MATHÉMATIQUES
En additionnant les chiffres des nombres premiers

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°444 daté septembre 2010 à la page 18 (570 mots) | Gratuit
Deux arithméticiens français ont répondu à une question posée en 1968 en prouvant qu'il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire.

Christian Mauduit et Joël Rivat sont professeurs à l'université de la Méditerranée et travaillent dans l'équipe dynamique, arithmétique et combinatoire de l'institut de mathématiques de Luminy, à Marseille. Ils s'intéressent depuis plusieurs années aux propriétés des nombres premiers.

Pourquoi vous intéressez-vous aux nombres premiers ?

C.M.-J.R. Les nombres premiers - divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes - sont les briques élémentaires de l'arithmétique. Malgré cette définition simple, on ignore presque tout d'eux. On sait dire rapidement que 97, 311 ou 2011 sont des nombres premiers, c'est plus difficile pour de très grands nombres.

Quel problème avez-vous étudié ?

C.M.-J.R. Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la somme des chiffres constituant les nombres premiers : existe-t-il autant de nombres premiers dont la somme des chiffres est paire que de nombres premiers dont la somme des chiffres est impaire ? Ce problème est simple à énoncer, mais sa résolution semblait un défi. Nous avons réussi à démontrer que la réponse à cette question est positive. C'est un cas particulier d'un problème énoncé en 1968 par le mathématicien russe Aleksandr Gelfond, et que nous avons aussi résolu : les sommes des chiffres des nombres premiers sont équiréparties dans les suites arithmétiques quelle que soit la base utilisée.

Depuis quand vous intéressez-vous à ce problème ?

C.M.-J.R. De nombreux mathématiciens avaient réfléchi à cette question de Gelfond. En 1996, l'un de nous Christian Mauduit avait déjà montré avec Étienne Fouvry qu'il y avait une infinité de nombres qui étaient soit premiers, soit produits d'au moins deux nombres premiers et dont la somme des chiffres était paire. Cela avait permis de mettre en place des outils que nous avons réutilisés.

Quelle méthode avez-vous utilisée ?

C.M.-J.R. Nous avons adopté une démarche habituelle en théorie analytique des nombres en transformant le problème initial concernant la somme de chiffres en une estimation de sommes d'exponentielles voir la figure. Pour prouver le théorème, il nous fallait estimer un terme d'erreur qui fait intervenir ces sommes d'exponentielles. Un premier traitement consiste à remplacer une somme d'exponentielle qui porte uniquement sur les nombres premiers en une somme double d'exponentielles qui porte sur des produits de nombres entiers que l'on peut estimer. Un second traitement permet de réduire cette estimation à un problème de transformée de Fourier une méthode de décomposition des fonctions : cela consiste à estimer de manière très précise les moyennes des valeurs absolues des « coefficients de Fourier » des nombres qui interviennent dans cette décomposition.

Cette méthode est-elle généralisable à des problèmes plus difficiles ?

C.M.-J.R. Toutes les propriétés sur les chiffres des nombres, qu'ils soient premiers ou non, s'inscrivent dans le contexte plus général des suites automatiques. Une suite automatique est une suite de nombres entiers pour laquelle il existe un algorithme simple - un automate fini - qui permet de savoir si un entier donné appartient à cette suite ou pas. Dans notre cas, les suites automatiques concernées sont les deux suites constituées des nombres entiers dont la somme des chiffres est paire ou impaire. Rechercher des nombres premiers dans les suites automatiques reste un problème ouvert, mais notre résultat constitue un premier pas dans cette direction.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

 DOCUMENT       larecherche.fr       LIEN